Du 27 au 31 Août 2018
La sixième école depuis 2012 du club Animath camerounais s’est tenue fin août au Lycée Japoma de Douala. Rassemblant une trentaine d’élèves, elle était animée par cinq personnes : trois chercheurs mathématiciens, Patrick Njionou de Douala, Denis Kuperberg et Simon Iosti de Lyon, un étudiant, ancien du club, Yvon Mandela tout juste rentré d’un stage pour lycéens organisé en juillet à Paris par l’École Normale Supérieure, et Simo Rodin, le jeune directeur de la start-up « math-entrepreneur ».
Déroulement
Lundi 27 août. Thème de la journée : Graphes.
Matin :
– Petit cours sur les graphes. Définition (graphes simples non-orientés), premiers exemples.
– Exercice : nombre maximum d’arêtes d’un graphe à n sommets ? → graphe complet K_n.
– Cours : degré d’un sommet, somme des degrés = 2 x nombre d’arêtes.
– Exercice : Dans un groupe, chaque personne a 3 amis. Prouver qu’il y a un nombre pair de personnes. Et si seulement 3 amis en moyenne ?
– Activité en groupe : Coloriage de cartes. Chacun dessine une carte, et la fait colorier à son voisin, le but est que le voisin la colorie avec le plus possible de couleurs, le but du voisin est de la colorier avec le moins possible de couleurs.
– Cours : graphes planaires, lien avec les cartes et coloriages de graphes, théorème des 4 couleurs + historique rapide du théorème.
– Exercice : Trouver une carte coloriable avec exactement 4 couleurs, pas moins.
– Les cartes sur la sphère, le tore, théorème des 7 couleurs sur le tore, dessin de K_5 sur le tore.
Après-midi : Activités en groupes
– Ponts de Königsberg, plusieurs cartes avec des ponts, lesquelles ont un chemin ne passant qu’une seule fois par chaque pont ? Lorsque ce n’est pas possible justifier pourquoi. Théorème des chemins eulériens (énoncé au tableau).
– Interrupteurs sur un graphe. Sur un graphe, un interrupteur sur chaque sommet qui switche on/off le sommet et ses voisins. Exemples simples, puis trouver des stratégies qui fonctionnent pour les graphes K_n, K_n,n (bipartite complet), C_n (cycle), L_n (ligne).
Mardi 28 août Thème de la journée : Théorie des jeux.
Matin :
– Correction de l’activité interrupteurs de la veille.
– Activités en groupe : Nim simplifié. Une pile de jetons, on enlève chacun à son tour 1 ou 2 jetons, celui qui enlève le dernier a gagné. Jouer au jeu, et trouver une stratégie gagnante ? Explication de la stratégie au tableau (avec le tableau des positions gagnantes, perdantes), puis question : stratégie gagnante si on a le droit de retirer 1, 2 ou 3 jetons ? Explication.
Nim/Marienbad. N piles de jetons, on retire autant de jetons qu’on veut dans une seule pile, celui qui prend le dernier jeton a gagné. Jouer au jeu, trouver une stratégie gagnante ? Stratégie gagnante dans le cas où N=2 ?
Après-midi :
– 2 exposés de Yvon Mandela (ancien élève ayant suivi une école d’été à l’ENS-Paris), et de Simo Rodin, qui gère une structure (Math Entrepreneur) qui fait le lien entre des mathématiciens professionnels et des entreprises.
– Fin de l’activité Nim : Explication de la stratégie gagnante pour N=2. Mini-cours sur les nombres binaires, et explication de la stratégie gagnante pour N quelconque. On laisse les élèves jouer pour expérimenter la stratégie gagnante.
– Activité en groupe : Chomp. Tablette de chocolat avec le carreau en bas à gauche empoisonné. Chaque joueur choisit à son tour un carreau, et le mange ainsi que tous les carreaux qui sont plus haut et plus à droite. Jouer et trouver une stratégie gagnante sur la grille carrée NxN. Explication de la stratégie gagnante pour NxN, puis explication au tableau de l’argument de vol de stratégie pour les grilles rectangulaires : le premier joueur a forcément une stratégie gagnante, mais on ne la connaît pas.
– Exercices pour le lendemain : Trouver la stratégie gagnante pour la grille 2xN.
4 villes aux 4 coins d’un carré de côté 1. Trouver le moyen de relier les 4 villes par des routes en minimisant la longueur totale des routes (on suggère la forme optimale : un H avec les côtés tordus, et on demande de trouver la taille exacte de la barre centrale du H).
Mercredi 29 août – Thème de la journée : Infini. (en fait seulement le matin)
Matin :
– Correction des exercices de la veille.
– Activité en groupe : Hôtel de Hilbert. Ajouter une personne, ajouter 3 personnes… Ajouter une infinité de personnes. Explications.
– Cours : Notion de bijection, pourquoi c’est pertinent pour comparer les ensembles infinis. Exemples avec N (entiers naturels) et N privé de 0, puis N et 2N.
– Activité en groupe : Hôtel de Hilbert avec une infinité de cars amenant une infinité de personnes chacun (hôtel vide au départ). Explications.
– Interlude : développement décimal périodique : 0,999… = 1, puis trouver des expressions rationnelles pour quelques nombres avec un développement décimal périodique.
– Cours : Argument diagonal pour N et R. Argument diagonal général pour un ensemble X et l’ensemble de ses parties. Dénombrabilité de Q, et preuve que racine de 2 n’est pas rationnel.
Après-midi :
– Énigmes variées (car la matinée a été déjà difficile pour les élèves).
– 9 pièces, une fausse pièce plus lourde, 2 pesées (puis version difficile : 12 pièces, 3 pesées, fausse pièce peut-être plus lourde ou plus légère)
– Fil qui fait le tour de la Terre, on ajoute 1m de fil, un chat peut-il passer dessous ?
– Deux personnes avec chapeaux noirs ou blancs, on ne voit que celui de l’autre, trouver une stratégie pour qu’au moins un des deux devine sa couleur de chapeau.
– Gâteau rectangulaire, on enlève une part rectangulaire n’importe où, découper le reste en deux parties égales en un seul coup de couteau.
– Bonus pour le lendemain : remplir une forme avec 4 pièces identiques (un L formé de trois carrés identiques) ; l’éléphant et les 3000 bananes.
Jeudi 30 août :
Matin:
Correction des énigmes: 4 villages en carré corrigée au tableau.
Elephant et 3000 bananes corrigée par un élève qui l’a résolue parfaitement.
Correction de l’énigme des 12 pièces.
Exposé de Patrick sur les fractions rationnelles, avec plusieurs exercices interactifs.
La notion de fraction continue simple a été introduite avec pour motivation les approximations de certains nombres réels sans avoir forcément besoin d’une calculatrice ou d’un ordinateur. Une technique de développement des nombres irrationnels quadratiques a été introduite et des problèmes interactifs posés. Les élèves ont plutôt très bien compris la méthode et ont pu fournir les développements pour presque tous les nombres qui leurs ont été fournis. Ensuite le problème inverse a été posé, celui de retrouver le nombre connaissant son développement en fraction continue. Enfin une brève idée des racines continues a été introduite avec quelques énigmes à solutionner. La séance s’est achevée sur cette énigme et nous sommes allés déjeuner.
Les déjeuners sont une occasion de prolonger les discussions mathématiques.
Après-midi:
Cours sur le lambda-calcul, exemples de lambda termes et leurs réductions.
Encodage des booléens, et des fonctions NON, ET, OU, XOR.
Encodage des entiers (encodage de Church), et des fonctions Successeur, Addition. Multiplication laissée en exercice.
Difficile mais la plupart des élèves ont pu suivre, au moins vérifier que les fonctions définies étaient correctes. Certains réussissaient à les trouver.
Vendredi 31 août : Journée annulée pour cause d’accident de voiture le jeudi soir. Heureusement sans blessures personnelles ; Il était prévu de présenter aux élèves nos différents domaines de recherches et diffuser puis commenter deux documentaires sur la vulgarisation des mathématiques. Nous programmons cette journée pour le weekend du 22 au 23 Septembre, le temps de régler certains problèmes d’abord.
Perspectives
En dépit de l’accident de circulation que nous avons eu Jeudi soir en rentrant du Lycée, et l’état des routes très difficiles, les activités se sont très bien passées et les élèves étaient très motivés. Peu d’élèves de Terminale invités ont répondu présents (à cause de la période qui est aussi la période des concours d’entrée dans les grandes écoles supérieures du pays) et nous pensons que pour les sessions à venir, les élèves de Premières et Secondes seront les plus aptes à participer.
Pour le financement du déjeuner des élèves, nous discutons avec Simo Rodin de Math Entrepreneur (qui est d’ailleurs venu vivre en direct l’organisation de cette année) pour voir comment convaincre certaines entreprises locales de trouver un peu de moyen financiers pour sponsoriser cette semaine. Dans cette partie de la ville, vivent les familles les plus défavorisées et même si on y trouve des enfants très intelligents, il est vraiment difficile de demander aux parents de faire des dépenses supplémentaires pour des activités extra scolaires.
En ce qui concerne l’éclosion de nouveaux clubs, le caractère bénévole et gratuit des séances n’encourage pas les enseignants à s’y lancer. Les salaires étant très bas, tous les enseignants de Mathématiques sont occupés pendant leur temps libre à travailler dans d’autres établissements pour avoir des compléments de revenus. Patrick continue néanmoins à discuter avec certains collègues mais ne peut garantir la pérennité des clubs qui pourront en sortir.
Pour découvrir les aventures des participants en détail, rendez vous sur le site de la Préparation Olympique Française de Mathématiques ou directement ici. 
