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Association Animath
Association pour l’animation mathématique

Animath est une association loi 1901, dont le but est de promouvoir l’activité mathématique chez des jeunes, sous toutes ses formes : ateliers, compétitions, clubs... dans les collèges, lycées et universités, tout en développant le plaisir de faire des mathématiques.

Prix du millénaire de l’Institut Clay

Prix du millénaire de l’Institut Clay

L’Institut de mathématiques Clay (Clay Mathematics Institute, CMI) a annoncé le 18 mars que Grigoriy Perelman, de Saint-Pétersbourg en Russie, est le lauréat du Prix du millénaire pour la résolution de la conjecture de Poincaré.

Quelques photos du colloque célébrant la conjecture de Poincaré et sa résolution, les 8 et 9 juin 2010. Comme conférence inaugurale du colloque, était organisée une

conférence d’Etienne Ghys "Les maths ne qu’une histoire de groupes (H. Poincaré)"

Animath était associée à cette conférence en organisant la venue de 200 lycéens d’Ile de France.

Explication de la conjecture de Poincaré par James Carlson, président de l’institut Clay

La conjecture de Poincaré de 1904 s’énonce ainsi : Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3.

Une variété est une sorte de patron plan auquel on rajoute des instructions de collage. Par exemple, un segment qu’on replie sur lui-même donnera un cercle, une bande de papier donnera un cylindre, un cône.

Compacte, pour faire simple, nous entendrons fermé borné.

Pour comprendre simplement connexe, il faut imaginer un espace d’un seul tenant, sans trou.

Un espace homéomorphe à un autre ? c’est le même vu différemment. Une mug (tasse avec un anse) est homéomorphe à un tore (un donuts....)

Pour hypersphère de dimension 3, entendons une sphère au sens usuel.

Cédric Villani, directeur de l’IHP

La conjecture de Poincaré et la preuve de Perelman (extrait de www.ihp.fr)

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Formulée en 1904 par le mathématicien français Henri Poincaré, la conjecture est fondamentale pour réussir à comprendre les formes de dimension trois (les variétés compactes). La plus simple de ces formes est la sphère de dimension trois. Elle est contenue dans l’espace de dimension quatre et elle est définie comme l’ensemble des points à distance fixée d’un point donné, exactement comme la sphère de dimension deux (la peau d’une orange, la surface de la Terre) est définie comme l’ensemble des points de l’espace de dimension trois à une distance fixée d’un point donné (le centre).
Comme nous ne pouvons pas visualiser directement les objets dans l’espace de dimension n, Poincaré a demandé s’il existe un test pour reconnaître quand une forme est la sphère de dimension trois, en effectuant des mesures et d’autres opérations à l’intérieur de celle-ci. Le but était de reconnaître toutes les sphères de dimension trois, même si elles sont très déformées. Poincaré a trouvé le test adéquat (la simple connexité, voir ci-dessous). Toutefois, personne avant Perelman n’était capable de prouver que le test fonctionnait.

Au cours du dernier siècle, il y a eu de nombreuses tentatives pour démontrer, mais aussi pour réfuter la conjecture de Poincaré. Vers 1982, cependant, une nouvelle ligne d’attaque a été ouverte. C’était la méthode du flot de Ricci, imaginée et développée par Richard Hamilton. Elle était fondée sur une équation différentielle liée à celle que Joseph Fourier avait introduite cent soixante ans plus tôt pour étudier la conduction de la chaleur. Avec l’équation du flot de Ricci, Hamilton a obtenu une série de résultats spectaculaires en géométrie. Néanmoins, les progrès obtenus en l’appliquant à la conjecture ont commencé à piétiner, en grande partie parce que la formation de singularités, un peu comme la formation de trous noirs dans l’évolution du cosmos, défiait l’entendement des mathématiciens.

La découverte capitale que constitue la preuve de la conjecture de Poincaré par Perelman a été rendue possible par plusieurs éléments nouveaux. Il a obtenu une compréhension complète de la formation de singularités dans le flot de Ricci, ainsi que de la façon dont certaines parties de la forme s’effondrent sur des espaces de dimension plus petite. Perelman a introduit une nouvelle quantité, l’entropie, qui diminue lorsque le temps avance, ce qui indique une augmentation de la quantité d’ordre géométrique dans la forme sous-jacente. Il a introduit une quantité locale reliée à l’entropie, la fonctionnelle L, et il a utilisé la théorie de Cheeger et Aleksandrov pour comprendre les limites d’espaces qui se transforment par le flot de Ricci. Il a aussi pu démontrer que l’intervalle de temps entre la formation de singularités ne pouvait pas devenir de plus en plus petit, avec des singularités se rapprochant au point de devenir tellement « infiniment proches » que la méthode du flot de Ricci ne pourrait plus s’appliquer. Perelman a déployé ses idées et méthodes nouvelles avec une grande maîtrise technique et il a décrit les résultats obtenus avec une élégante concision. Les mathématiques en ont été profondément enrichies.



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