(Rédigé par Yann Ollivier.)
Ce texte rappelle les formules de base de la géométrie du triangle. Exercice : démontrez-les toutes !!
Soit ABC un triangle, on note
,
,
; on note
respectivement, les angles en
.
I est le centre du cercle inscrit, de rayon r ;
O est le centre du cercle circonscrit, de rayon R ;
H est l'orthocentre.
p est le demi-périmètre
. C'est une quantité souvent utile. Il est bon de savoir que
,
et
sont positifs.
Pour retenir ces relations, deux démarches sont indispensables : la symétrie en A, B et C, et l'homogénéité (une longueur ne peut pas être égale à un produit de longueurs, par exemple).
Relations
Égalité des sinus :
Produit des côtés :
Surface :
Théorème de Pythagore généralisé :
Centres :
Rayons :
Cercle d'Euler
Le cercle d'Euler (ou des neuf points) est le cercle dont le centre
est le milieu de
, de rayon
.
Il passe par les pieds des hauteurs ainsi que par les milieux des côtés.
Il est tangent aux cercles inscrits et exinscrits.
On a
.
Soient P, Q, R les intersections du cercle d'Euler avec les hauteurs issues de A, B, C (en plus des pieds des hauteurs). Soient
,
,
les milieux des côtés. Alors on a
,
,
. En outre, P est le milieu de AH, Q celui de BH, R celui de CH.
est le milieu de
, de
, de
.
L'appellation "cercle des neuf points" est claire sur la figure...
Transformation de Ravi
Soit u la distance de A aux deux points de tangence du cercle inscrit sur les côtés AB et AC, v, w définis symétriquement. On a
et
.
La transformation de
en
est souvent très utile : elle transforme trois nombres
soumis à l'inégalité triangulaire en trois nombres
positifs qui ne sont soumis à aucune contrainte particulière ; c'est souvent la première étape des exercices demandant de prouver une inégalité valable pour les côtés d'un triangle.
Droites de Simson
Les projetés d'un point M sur les trois côtés du triangle sont alignés si et seulement si M appartient au cercle circonscrit. La droite joignant les trois projetés est alors une droite de Simson du triangle.
Les symétriques de M par rapport aux côtés du triangle sont alors alignés sur une droite de Steiner (homothétique de la droite de Simson de centre M de rapport 2).
