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Olympiade française de mathématiques
2006-2007, dossier 6

Exercice 1

Soit c un entier strictement positif. On note $c_1$, $c_3$, $c_7$ et $c_9$ le nombre de diviseurs positifs de c dont l'écriture décimale finit par $1$, $3$, $7$ et $9$ respectivement. Prouver que :

$$c_3 + c_7 \leq c_1 + c_9.$$

Exercice 2

Soient $a \geq 0$ et $b > 1$ des entiers, et f un polynôme à coefficients entiers tels que $f(0) \geq 0$ et pour tout entier $n > 0$, l'entier $b^n$ divise $a^n + f(n)$. Prouver que b divise a et que f est le polynôme nul.

Exercice 3

Est-il possible de colorier chaque point à coordonnées entières du plan en rouge ou en bleu de sorte qu'il n'existe aucun rectangle dont les sommets soient de la même couleur, dont les côtés soient parallèles aux axes de coordonnées, et dont l'aire soit de la forme $2^n$ avec n un entier positif ou nul ?

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h.

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Dernière modification : 14 mars 2007.
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