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Olympiade française de mathématiques
2006-2007, dossier 5

Exercice 1

Il y a $30$ vecteurs non nuls dans l'espace. Montrer qu'on peut en trouver deux tels que l'angle entre eux soit strictement inférieur à $45^\circ$.

Exercice 2

Soit n villes entre lesquelles on peut voyager, moyennant un certain coût. Le voyage de la ville a à la ville b coûte $c_{ab}$. Le prix total d'un itinéraire passant par toutes les villes une et une seule fois est constant. Montrer qu'on peut trouver des nombres $e_k$ et $f_k$ tels que pour tous a et b, $c_{ab} = e_a + f_b$.

Exercice 3

Soit un quadrilatère convexe ABCD et P un point à l'intérieur du quadrilatère. Montrer que l'un des angles $\widehat{PAB}$, $\widehat{PBC}$, $\widehat{PCD}$, $\widehat{PDA}$ est inférieur ou égal à $45^\circ$.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h.

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Dernière modification : 13 février 2007.
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