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Olympiade française de mathématiques
2006-2007, dossier 4

Exercice 1

Trouver tous les polynômes P de degré impair tels que pour tout réel x,

$$P(x^2)=P(x) P(x-1).$$

Exercice 2

Soit f une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que pour tout entier naturel n,

$$f\bigl(|f(n)-n|\bigr) + n \leq |f(n)-n|+1.$$

Montrer que l'équation $f(m)=0$ admet une infinité de solutions.

Exercice 3

Soient $(a_1,\cdots,a_n)$ et $(x_1,\cdots,x_n)$ des réels strictement positifs tels que

$$\sum_{i=1}^n a_i =1, \quad \sum_{i=1}^n x_i =1.$$

Montrer que

$$2 \sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i x_j) \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \bigg(\frac{a_i x_i^2}{1-a_i}\bigg).$$

Exercice 4

Soient x et y deux réels strictement positifs tels que $x^2+y^3 \geq x^3+y^4$.

Montrer que $x^3+y^3 \leq 2$.

Exercice 5

Soit P un polynôme de degré impair à coefficients entiers (relatifs). Soient $u_0$ et $u_1$ deux entiers relatifs. Soit $(u_n)_{n\in N}$ la suite définie par :

$$u_{n+2}=P(u_{n+1})-P(P(u_n)).$$

Montrer que cette suite ne parcourt pas $\mathbb{Z}$, i.e. qu'il existe un entier relatif ne se trouvant pas dans les termes de la

Exercice 6

Trouver toutes les fonctions f et g de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant :

$$f(x-y)=f(x)-f(y)-g(x)g(y),$$

et f croissante.

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Dernière modification : 13 février 2007.
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