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Olympiade française de mathématiques
2006-2007, dossier 3

Exercice 1

Déterminer le plus grand entier qui divise tous les nombres de la forme

$$(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)$$

où a, b, c et d sont des entiers.

Exercice 2

Soit P un polynôme à coefficients entiers tel que $P(n) > n$ pour tout $n > 0$. On suppose que, pour tout entier $m > 0$, il existe au moins un terme de la suite $P(1), P(P(1)), P(P(P(1))), \ldots$ qui est divisible par m. Prouver que $P(x) = x + 1$.

Exercice 3

Soit $k>0$ un entier. On définit la suite $(a_n)$ par $a_1 = k+1$ et $a_{n+1} = a_n^2 - k a_n + k$. Prouver que si $m \neq n$ alors $a_m$ et $a_n$ sont premiers entre eux.

Exercice 4

Soit p un nombre premier congru à $2$ modulo $3$. Soient a et b deux entiers tels que p divise $a^2 + ab + b^2$. Prouver que p divise a et b.

Exercice 5

Soient $n > 1$ un entier et p un nombre premier tel que n divise $p-1$ et p divise $n^3 - 1$. Prouver que $4p-3$ est un carré.

Exercice 6

Soit $p > 1$ un entier fixé. Soit $(n_i)_{i \geq 0}$ une suite périodique (depuis le début) d'entiers positifs ou nuls. Montrer qu'il existe des suites périodiques d'entiers $(m_i)$ et $(q_i)$ telles que $0 \leq m_i < p$ et $p q_i + m_i = q_{i+1} + n_i$ pour tout entier $i \geq 0$.

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Dernière modification : 23 décembre 2006.
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