Exercice 1
Soit un tableau carré de
cases. On suppose que chaque ligne et chaque colonne contient exactement un
et un
, le reste étant rempli de zéros. Montrer qu'on peut permuter les lignes et les colonnes de façon à obtenir le tableau analogue où on a échangé les
et les
.
Exercice 2
Soient
des points. On les relie par k arêtes de sorte que dans tout ensemble de quatre points distincts, trois d'entre eux soient reliés pour former un triangle. Quelle est la valeur minimale de k et comment l'obtenir ?
Exercice 3
Soit X un ensemble de
entiers (deux à deux distincts) parmi
. Montrer qu'il existe des entiers a, b et c distincts dans X tels que
.
Exercice 4
Trouver tous les ensembles finis A de réels positifs ou nuls, comprenant au moins quatre éléments, et tels que pour tous a, b, c, d distincts dans A,
soit aussi dans A.
Exercice 5
Dans un quadrillage de
cases, on considère une figure F connexe* constituée de
cases. On étudie le nombre n maximal de répliques de F qu'on peut découper dans le quadrillage. Quelle est la plus petite valeur de n possible ?
Exercice 6
Les entiers relatifs sont coloriés à l'aide de quatre couleurs. On choisit des nombres impairs de valeurs absolues différentes, x et y. Montrer qu'il existe des entiers de même couleur dont la différence est x, y,
ou
.
