Exercice 1
Dans le plan, on donne deux points A et H, et un cercle
passant par A.
Comment trouver B et C sur
tels que H soit l'orthocentre de ABC ?
Exercice 2
Soit ABC un triangle. On considère trois points
,
,
tels que les triangles
,
,
soient isocèles en
,
,
, deux à deux semblables, et extérieurs à ABC.
Montrer que les droites
,
et
sont concourantes.
Exercice 3
Soient
et
deux cercles tangents en O. `A tout point M, distinct de O, de
, on associe le point
de
tel que OM et
soient orthogonaux, et on note H le projeté orthogonal de O sur
.
Déterminer l'ensemble des points H quand M varie.
Exercice 4
Soit
un cercle fixe de rayon R. On considère un triangle variable ABC inscrit dans
, vérifiant
, et on note h sa hauteur issue de A.
Quelle est la valeur maximale de
?
Exercice 5
Soit ABC un triangle. On suppose que D, E, F sont trois points sur les côtés BC, CA, AB respectivement tels que les rayons des cercles inscrits dans les triangles AEF, BFD, CDE aient une valeur commune
. On note r le rayon du cercle inscrit dans ABC et
le rayon du cercle inscrit dans DEF.
Montrer
.
Exercice 6
Dans le plan, on considère quatre droites, deux à deux non parallèles, trois à trois non concourantes. Montrer que les cercles circonscrits aux quatre triangles formés par trois de ces droites concourent en un point P, et que les centres des quatre cercles circonscrits sont sur un même cercle passant par P.
