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Olympiade française de mathématiques
2005-2006, dossier 6

Exercice 1

Soit $n \geq 3$ un entier. Montrer que pour tous réels strictement positifs $x_1, \ldots, x_n$, on a l'inégalité :

$$\frac{x_n x_1}{x_2} + \frac{x_1 x_2}{x_3} + \cdots + \frac{x_{n-1} x_n}{x_1} \geq x_1 + x_2 + \cdots + x_n.$$

Exercice 2

Soit ABC un triangle. On note $A_1$, $B_1$ et $C_1$ les points d'intersection des bissectrices des angles de ABC avec les côtés opposés respectifs. On suppose que les points B, $A_1$, $B_1$ et $C_1$ sont cocyliques. Prouver la relation :

$$\frac{BC}{AC+AB} = \frac{AC}{AB+BC} - \frac{AB}{BC+AC}.$$

Exercice 3

Quel est le plus petit entier n impair pour lequel il existe un polygone à n côtés (pas nécessairement convexe) qui puisse être pavé (sans trou ni chevauchement) par des parallélogrammes ?

Les trois derniers exercices sont à faire en 3h.

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Dernière modification : 23 avril 2006.
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