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Olympiade française de mathématiques
2005-2006, dossier 4

Exercice 1

Soit $n \geq 2$ un entier. On considère le système d'équations :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1 + x_n^2 & = & 4 x_n \\ x_2 + x_1^2 & = & 4 x_1 \\ x_3 + x_2^2 & = & 4 x_2 \\ & \vdots \\ x_n + x_{n-1}^2 & = & 4 x_{n-1} \end{array} \right. $$

Combien ce système admet-il de solutions $(x_1, \ldots, x_n)$ avec $x_i > 0$ pour tout i ?

Exercice 2

Dans le plan, trois cercles $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$ sont deux à deux tangents extérieurement. On note $P_1$ (resp. $P_2$) le point de contact entre $\mathcal C_1$ (resp. $\mathcal C_2$) et $\mathcal C_3$. On se donne sur $\mathcal C_3$ un diamètre $[AB]$ dont les extrémités ne sont ni $P_1$ ni $P_2$. La droite $(A P_1)$ intersecte à nouveau $\mathcal C_1$ en X et la droite $(B P_2)$ intersecte à nouveau $\mathcal C_2$ en Y. Finalement les droites $(A P_2)$ et $(B P_1)$ se coupent en Z. Montrer que les points X, Y et Z sont alignés.

Exercice 3

Dans le plan on se donne n points ($n\geq 4$). On suppose que la distance entre deux quelconques de ces points est un entier. Montrer qu'au moins un sixième de ces $\ncr n 2$ distances sont divisibles par $3$.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h.

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Dernière modification : 26 mars 2006.
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