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Olympiade française de mathématiques
2005-2006, dossier 3

Exercice 1

Trouver tous les couples $(p,q)$ de nombres premiers vérifiant :

$$p^3 - q^5 = (p+q)^2.$$

Exercice 2

On note G (resp. I) le centre de gravité (resp. le centre du cercle inscrit) d'un triangle ABC. On désigne par a, b et c les longueurs respectives des côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$. Montrer que l'aire du triangle CIG a pour valeur :

$$\frac{\abs{a-b} r} 6$$

où r désigne le rayon du cercle inscrit à ABC.

Exercice 3

Soit $n \geq 1$ un entier. Trouver le plus petit entier $N \geq 1$ vérifiant la propriété suivante : parmi N entiers quelconques, il en existe n dont la somme est divisible par n.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h.

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Dernière modification : 16 janvier 2006.
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