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Olympiade française de mathématiques
2005-2006, dossier 2

Exercice 1

Soit ABC un triangle acutangle (i.e. dont tous les angles sont aigus). On note O le centre du cercle circonscrit à ABC. Les droites $(AO)$ et $(BC)$ se coupent en K. Sur les côtés $[AB]$ et $[AC]$ du triangle, on place les points L et M tels que $KL=KB$ et $KM=KC$. Montrer que les droites $(LM)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Exercice 2

Trouver tous les entiers $n \geq 1$ pour lesquels le nombre de diviseurs positifs de $\ppcm(1,2,\ldots,n)$ est une puissance de $2$.

Exercice 3

Soit ABC un triangle. On note I le centre de son cercle inscrit et P et Q les points de contact de celui-ci avec les côtés $[AB]$ et $[AC]$. Les droites $(BI)$ et $(CI)$ rencontrent $(PQ)$ respectivement en K et L. Montrer que le cercle circonscrit à ILK est tangent au cercle inscrit à ABC si, et seulement si $AB+AC = 3BC$.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h.

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Dernière modification : 22 décembre 2005.
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