Exercice 1
Soient a, b, c trois réels strictement positifs tels que
. Montrer que :
Exercice 2
Soient ABC un triangle équilatéral, G son centre de gravité et M un point intérieur au triangle. Soit O le milieu du segment
. On considère les trois segments contenant M parallèles à un côté du triangle et dont les extrémités appartiennent aux deux autres côtés.
a) Montrer que le point O est équidistant des milieux de ces trois segments.
b) Montrer que les milieux des trois segments sont les sommets d'un triangle équilatéral.
Exercice 3
Soit k un entier naturel. Montrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que
soit un carré parfait.
Exercice 4
Soit ABC un triangle. On note D, E et F les points de contact du cercle inscrit dans ABC avec les côtés BC, CA et AB. Soit P un point intérieur à ABC tel que le cercle inscrit dans PBC passe par D. On note Q et R les points de contact du cercle inscrit dans PBC avec PC et PB. Montrer que les points E, F, Q et R sont cocyliques.
Exercice 5
Existe-t-il une fonction de
dans
satisfaisant simultanément les trois conditions suivantes :
- il existe un réel M tel que pour tout réel x,
- pour tout réel x non nul :
Exercice 6
Soit ABC un triangle. On note
la bissectrice intérieure issue de A. Soient P et Q les projetés orthogonaux de B et C sur
. Soit R le point tel que
soit parallèle à
et
soit parallèle à
. Montrer que
est la symédiane issue de A, c'est-à-dire la droite symétrique par rapport à
de la médiane issue de A du triangle ABC.
