Exercice 1
Le petit chaperon rouge, que nous nommerons Sophie, rencontre le grand méchant loup, répondant au nom de Xavier. Ce dernier, trop bon et trop généreux, ne mange pas la jeune fille mais lui propose le jeu suivant.
Sur un petit tableau (que Xavier garde toujours sur lui), il est inscrit un entier
. Sophie doit alors effacer le nombre
et le remplacer par un des deux entiers
,
(où
désigne la partie entière de x). On note
l'entier choisi. C'est alors à Xavier de jouer, qui doit effacer
et le remplacer par un entier
égal au choix à
ou
. Puis, c'est à nouveau au chaperon de jouer, et ainsi de suite. Le jeu s'arrête lorsqu'un des deux participants peut écrire le nombre
et ainsi gagne.
Cependant, le petit chaperon naïf croit que si elle gagne la partie, elle sera libérée. Ainsi, elle fait tout pour gagner. De même, le grand méchant loup fait tout pour gagner, car il aime affirmer sa supériorité sur le chaperon.
Si les deux joueurs jouent au mieux, préciser quel sera le gagnant dans les trois cas suivants :
a)
b)
c)
Exercice 2
Soient x, y et z des réels strictement positifs tels que
. Prouver que :
Exercice 3
Soit ABC un triangle non équilatéral. On suppose qu'il existe un point P intérieur au triangle tel que les trois céviennes* issues de P aient un même longueur
, avec
.
Prouver qu'il existe un autre point
, intérieur au triangle, et pour lequel les trois céviennes sont de même longueur.
Les trois derniers exercices sont à faire en 3h.
