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Olympiade française de mathématiques
2004-2005, dossier 4

Exercice 1

Les entiers $1,2, \ldots, n^2$ sont répartis dans les cases d'un damier $n \times n$ de sorte que pour chaque ligne et chaque colonne la somme des nombres écrits soit la même (un nombre par case). Pour tout choix de deux cases distinctes, on construit un vecteur dont l'origine est le centre de la case de plus petit numéro et l'extrémité est le centre de la case de plus grand numéro. Prouver que la somme de tous ces vecteurs est nulle.

Exercice 2

Dans le triangle ABC, les bissectrices des angles $\hat A$, $\hat B$, $\hat C$ rencontrent les côtés opposés respectivement en $A_1$, $B_1$ et $C_1$. Prouver que si le quadrilatère $B A_1 B_1 C_1$ est inscriptible dans un cercle alors :

$$\frac {BC} {AC+AB} + \frac {AB} {BC+AC} = \frac {AC} {AB+BC}$$

Exercice 3

Trouver toutes les fonctions $f : \N^\star \to \N^\star$ telles que pour tous entiers m et n, on ait $f(m)^2 + f(n)$ divise $(m^2+n)^2$.

Les trois derniers exercices sont à faire en 3h.

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Dernière modification : 3 avril 2005.
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