Exercice 1
Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que
,
et
.
Prouver que
.
Exercice 2
Soit
un entier. On répartit les entiers strictement supérieurs à
en n parties non vides et deux à deux disjoints de sorte que si a et b sont deux éléments quelconques d'une même de ces parties, disons A, tels que
alors d appartient lui aussi à A. Prouver qu'une des parties contient tous les nombres premiers sauf, éventuellement, au plus
d'entre eux.
Exercice 3
Chaque point appartenant aux côtés d'un triangle acutangle ABC est colorié soit en vert, soit en rouge, soit en bleu. Prouver qu'il existe un triangle rectangle dont les trois sommets sont de la même couleur ou qu'il existe un triangle semblable à ABC dont les trois sommets pris sur les côtés de ABC sont de couleurs deux à deux distinctes.
Les trois derniers exercices sont à faire en 3h.
