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Olympiade française de mathématiques
2004-2005, dossier 2

Exercice 1

Soient $n \geq 2$ un entier et $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ des réels tels que $\sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n y_i^2 = 1$. Prouver que :

\[(x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \leq 2 \abs{1 - \sum_{i=1}^n x_i y_i}\]

Exercice 2

Sur une île déserte, cohabitent trois clans de filles, les blondes, les brunes et les rousses. Lorsque deux clans (représentés au complet) se rencontrent :

  • s'ils comptent le même nombre de filles, celles-ci rejoignent toutes le troisième clan, et se teignent donc les cheveux par la couleur correspondante ;
  • sinon, une partie des filles du clan majoritaire rejoint l'autre clan en adoptant sa couleur de cheveux de sorte que l'effectif du clan minoritaire double, puis les deux clans se séparent.

On suppose qu'il y a $17 \cdot 2^{10}$ filles en tout sur l'île et qu'une seule est rousse. Prouver que quelle que soit la répartition des filles selon les deux autres teintes de cheveux, il existe toujours une suite de rencontres entre les différents clans de sorte qu'au final toutes les filles fassent partie du même clan, et donc par le fait arrêtent de se créper le chignon.

Exercice 3

Soient i et j des entiers tels que $1 \leq j \leq i$. Prouver que :

$$\sum_{p=0}^j (-1)^p \ncr i p \ncr {i+j-p-1} {j-p} = 0$$

Les trois derniers exercices sont à faire en 3h.

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Dernière modification : 30 janvier 2005.
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