Exercice 1
Sur un damier
formé exclusivement de cases blanches, on dit que deux cases sont adjacentes si elles ont tout un côté en commun. Dolphi et Cleo jouent au jeu suivant. Dolphi commence par noircir la case en haut à gauche. Cleo doit alors noircir une case non encore noircie et adjacente à celle que vient de noircir Dolphi. Puis c'est au tour de Dolphi de jouer, et de noircir une case blanche adjacente à la case précédemment noircie (par Cleo) et ainsi de suite. Lorsqu'un joueur ne peut plus jouer, il a perdu.
Déterminer, selon les valeurs de n, lequel des deux joueurs possède une stratégie gagnante.
Exercice 2
On considère l'ensemble E des points
du plan, avec
. Déterminer le plus petit entier k pour lequel l'affirmation suivante est vraie : tout sous-ensemble de E contenant au moins k éléments en contient trois dont un est le milieu des deux autres.
Exercice 3
Déterminer tous les nombres premiers p et q tels que
soit divisible par pq.
Les trois derniers exercices sont à faire en 3h.
