Exercice 1
Déterminer tous les couples
de réels positifs ou nuls pour lesquels il n'existe qu'une seule fonction continue
vérifiant l'équation fonctionnelle suivante :
pour tout réel x,
.
Exercice 2
Soit n un entier
, et
des réels. Montrer que l'on a :
Exercice 3
Soit E un ensemble à n éléments, et
, dots,
des parties de E de cardinal impair. On suppose de plus que pour tous
,
est de cardinal pair. Prouver que
.
Exercice 4
Trouver tous les entiers
pour lesquels il existe un entier m tel que
divise
.
Exercice 5
On considère le jeu suivant, qui se déroule en deux étapes. On commence par disposer, sur le plan rapporté à un repère orthonormé, un nombre fini de jetons en des points à coordonnées entières et d'ordonnées positives ou nulles. On déplace ensuite les jetons sur la grille des points à coordonnées entières (pas nécessairement positives) comme aux dames : on a simplement le droit de faire sauter un jeton par-dessus un autre qui lui est adjacent (horizontalement ou verticalement), en retirant le jeton ainsi sauté, si la position d'arrivée n'est pas déjà occupée.
Lorsque l'on ne peut plus jouer, on regarde l'ordonnée du jeton situé le plus bas. Montrer que cette ordonnée est minorée indépendamment du nombre de jetons, de la configuration initiale et des déplacements effectués, et donner le minimum que l'on peut trouver.
Exercice 6
Soit D le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. On note E et F les projetés orthogonaux de D sur les côtés
et
respectivement. De plus, la parallèle à
(resp.
) passant par D rencontre le côté
(resp.
) en G (resp. H).
- Montrer que les droites
,
et
sont concourantes en un point noté
.
- On définit
et
de manière analogue. Montrer que les points
,
et
sont alignés.
