[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Olympiade française de mathématiques
2003-2004, dossier 6

Exercice 1

On se donne $18$ points du plan, trois jamais alignés, de sorte qu'ils forment $816$ triangles. Soit A la somme des aires de ces triangles. On colorie six des points en rouge, six autres en vert et les six derniers en bleu. Montrer que la somme des aires des triangles dont les trois sommets sont de la même couleur ne dépasse pas $A/4$.

Exercice 2

Soit D un disque ouvert de rayon $R>1$. Soit $f: D\to D$ une fonction vérifiant $f(f(A)) = A$ pour tout A, et $f(A)f(B) < 1$ si et seulement si $AB < 1$. Montrer qu'il existe un point M de D tel que $Mf(M)<1$.

Exercice 3

Pour tout entier $n \geq 1$, on écrit :

$$\frac{a(n)}{b(n)} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\quad \mathrm{avec }\pgcd(a(n),b(n))=1.$$

Montrer qu'il existe une infinité d'entiers n pour lesquels $a(n)$ n'est pas une puissance d'un nombre premier.

Exercice 5

Soit $x>1$ un rationnel tel qu'il existe une suite $(a_n)_{n\geq 0}$ d'entiers pour laquelle $|x^n-a_n| < 1/n$. Montrer que x est entier.

Les deux derniers exercices sont à faire en 4h30.

[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Association Animath
Institut Henri Poincaré
11 rue Pierre et Marie Curie
75231 Paris cedex 05
animath (at) animath.fr

Pour toute question concernant Animath : animath (at) animath.fr
Pour toute remarque concernant ce site : webmaster (at) animath.fr
Dernière modification : 10 juillet 2004.
Page maintenue par Yann Ollivier.

Copyright
Tous les textes et le matériel figurant sur ces pages sont la propriété de leurs auteurs.
Toute utilisation non commerciale est autorisée, avec mention de la source.
Toute utilisation commerciale est interdite.