Exercice 1
Des enfants sont assis en cercle, et disposent chacun d'un nombre pair de bonbons. Simultanément, chaque enfant donne la moitié de ses bonbons à son voisin de droite. Si après ce partage l'un des enfants a un nombre impair de bonbons, Dolphi lui en donne un de plus. Prouver qu'au bout d'un nombre fini de telles opérations, les enfants auront tous le même nombre de bonbons.
Exercice 2
On suppose que a, b, c sont des réels tels que, pour tout entier
et tout n-uplet
de réels strictement positifs, on ait :
Montrer qu'il existe des réels positifs
,
tels que :
Exercice 3
Soit
un entier donné, et F un ensemble infini d'ensembles à r éléments, deux à deux d'intersection non vide. Montrer qu'il existe un ensemble à
éléments qui a une intersection non vide avec chacun des ensembles appartenant à F.
Les trois derniers exercices sont à faire en 4h30.
