[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Olympiade française de mathématiques
2003-2004, dossier 4

Exercice 1

Un triangle est divisé en six petits triangles par ses médianes. Prouver que les six centres des cercles circonscrits à chacun de ces petits triangles sont cocyliques.

Exercice 2

Déterminer toutes les fonctions $f: \Z\to\Z$ telles que :

$$f(x^3+y^3+z^3) = f(x)^3 + f(y)^3 + f(z)^3$$

pour tous entiers x, y, z.

Exercice 3

Dans le plan, on a tracé n cercles de rayon $1$. On suppose que tout cercle en rencontre au moins un autre, mais que deux quelconques ne sont jamais tangents. Prouver qu'ils définissent au moins n points d'intersection distincts.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h30.

[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Association Animath
Institut Henri Poincaré
11 rue Pierre et Marie Curie
75231 Paris cedex 05
animath (at) animath.fr

Pour toute question concernant Animath : animath (at) animath.fr
Pour toute remarque concernant ce site : webmaster (at) animath.fr
Dernière modification : 10 juillet 2004.
Page maintenue par Yann Ollivier.

Copyright
Tous les textes et le matériel figurant sur ces pages sont la propriété de leurs auteurs.
Toute utilisation non commerciale est autorisée, avec mention de la source.
Toute utilisation commerciale est interdite.