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Olympiade française de mathématiques
2003-2004, dossier 3

Exercice 1

Déterminer les polynômes P à coefficients réels vérifiant la propriété suivante : pour tout réel x, si $P(x)$ est entier, alors $P(x+1)$ l'est aussi.

Exercice 2

Soit A, B, C, D quatre points de l'espace. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que toute sphère passant par A et B rencontre toute sphère passant par C et D.

Exercice 3

\includegraphics{figures.03043}

Sur une grille $n \times n$, on repasse les côtés d'un certain nombre de carrés. Sur la figure ci-contre on a ainsi représenté le cas de trois carrés tracés sur un grillage $3 \times 3$.

Déterminer le nombre minimal de carrés qu'il faut tracer pour repasser toutes les arêtes de la grille.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h30.

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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