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Olympiade française de mathématiques
2003-2004, dossier 2

Exercice 1

On part de $n = 2$. À tour de rôle, Alice (la première) et Bob ajoutent un diviseur $0 < d < n$ du nombre n qui est inscrit au moment où ils jouent (et laissent donc $n+d$).

  • Le premier qui fait dépasser $2003^{2004}$ perd. Qui a une stratégie gagnante ?
  • Le premier qui fait dépasser $2004^{2003}$ perd. Qui a une stratégie gagnante ?

Exercice 2

  • Déterminer tous les entiers $n > 0$ pour lesquels l'équation $(a^a)^n = b^b$ admet au moins une solution en entiers $a, b > 1$.
  • Déterminer tous les entiers $a, b > 0$ tels que $(a^a)^5 = b^b$

Exercice 3

Soient k points dans le plan. Chacun d'entre eux est l'origine d'un certain nombre de demi-droites. Deux quelconques de ces demi-droites n'ont aucun point en commun (sauf, éventuellement, leur origine). Prouver qu'il est possible de tracer $k-1$ segments dont les extrémités sont parmi les k points, de sorte qu'un quelconque de ces segments ne rencontre ni un autre des segments ni l'une des demi-droites sauf, éventuellement, en un des k points.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h30.

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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