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Olympiade française de mathématiques
2003-2004, dossier 1

Exercice 1

Trouver tous les triplets $\pa{p,q,r}$ de nombres premiers tels que

$$p^q + p^r$$

soit le carré d'un entier.

Exercice 2

Soient a, b et c trois réels strictement positifs vérifiant :

$$\frac 1 {ab} + \frac 1 {bc} + \frac 1 {ca} = 1$$

Montrer :

$$\frac a {\sqrt{1+a^2}} + \frac b {\sqrt{1+b^2}} + \frac c {\sqrt{1+c^2}} \leq \frac {3\sqrt 3} 2$$

Exercice 3

Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus. Le cercle $\mathcal C$ de diamètre $\cro{AB}$ recoupe $\pa{AC}$ et $\pa{BC}$ respectivement en P et Q. Les tangentes en A et en Q au cercle $\mathcal C$ se coupent en R et les tangentes en B et en P au même cercle $\mathcal C$ se coupent en S.

Les trois derniers exercices sont à faire en 4h30.

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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