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Olympiade française de mathématiques
2002-2003, dossier 6

Exercice 1

À l'extérieur d'un triangle ABC, on construit les carrés ABDE et BCFG. Montrer que le triangle ABC est isocèle en B si et seulement si les droites $\pa{DG}$ et $\pa{AC}$ sont parallèles.

Exercice 2

Soient $a_1, \ldots, a_n$ des réels strictement positifs. On note $a = a_1 + \ldots + a_n$. Montrer que :

$$\sum_{i=1}^n \frac {a_i}{2a-a_i} \geq \frac n {2n-1}$$

Exercice 3

On se donne $a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ des réels distincts deux à deux. Grâce à ces nombres, on remplit un tableau $n \times n$ de la façon suivante : à l'intersection de la ligne i et de la colonne j on place le nombre $a_i + b_j$. Prouver que si le produit de chaque colonne est toujours le même, alors il en est de même pour le produit des lignes.

Exercice 4

Existe-t-il f, g et h trois polynômes de degré $2$ tels que la composée $f \circ g \circ h$ soit un polynôme de degré $8$ ayant pour racines $1, 2, 3, \ldots 8$ ?

Exercice 5

On a divisé chaque côté d'un triangle en six parties, ce qui a permis de diviser le triangle en $36$ petits triangles. On place sur chacun des sommets ainsi obtenus une coccinelle. Celles-ci se déplacent sur les arêtes tracées, et mettent toujours le même temps pour parcourir une arête. Lorsqu'elles rencontrent un nouveau sommet, elles choisissent une nouvelle arête et continuent leur chemin. Elles doivent obligatoirement changer de direction et ne peuvent pas rebrousser chemin sur la même arête. Prouver qu'à un moment, deux coccinelles vont se rencontrer.

Le résultat reste-t-il vrai si l'on remplace $6$ par $5$ ?

Exercice 6

Trouver toutes les fonctions $f: \R \to \R$ vérifiant, pour tous $x \neq y$, $f\pa x \neq f\pa y$ et :

$$f\pa{\frac {x+y}{x-y}} = \frac{f\pa x + f \pa y}{f\pa x - f\pa y}$$

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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