[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Olympiade française de mathématiques
2002-2003, dossier 5

Exercice 1

$A_1,\ldots,A_n$ sont n points du plan. On suppose que l'aire d'un triangle formé par trois quelconques de ces points est toujours inférieure à $1$. Montrer qu'il existe un triangle d'aire $4$ qui contient tous les $A_i$.

Exercice 2

Existe-t-il une suite $(u_n)$ telle que :

  • Pour tout entier strictement positif x, il est un unique indice n tel que $u_n=x$
  • pour tout indice n, la somme $u_1 + \cdots + u_n$ est divisible par n

Exercice 3

Existe-t-il une fonction $f:\N\rightarrow \N$ vérifiant l'équation fonctionnelle suivante :

\[ f^{(2003)}(n)=2n \]

où $f^{(n)}$ désigne par définition $f\circ f \circ \cdots \circ f$, n fois.

Exercice 4

Existe-t-il un entier positif a qui soit tel que la somme de ses chiffres (en base 10) soit $2003$ et que lq somme des chiffres de $a^2$ soit $2003^2$ ?

Exercice 5

Soient $a,b$ et c trois réels strictement positifs tels que $abc\leq 1$. Prouver que

\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{a} +\frac{c}{b} \geq a+b+c \]

Exercice 6

$S_1$ et $S_2$ sont deux cercles de centres respectifs $O_1$ et $O_2$. On suppose qu'ils se coupent en deux points distincts A et B. On note F le deuxième point d'intersection du cercle $S_2$ avec la droite $(O_1B)$ et E le deuxième point d'intersection du cercle $S_1$ avec la droite $(O_2B)$. On mène la parallèle à $(EF)$ passant par B. Elle recoupe le cercle $S_1$ en M et le cercle $S_2$ en N. Prouver que $MN=AE+AF$.

[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Association Animath
Institut Henri Poincaré
11 rue Pierre et Marie Curie
75231 Paris cedex 05
animath (at) animath.fr

Pour toute question concernant Animath : animath (at) animath.fr
Pour toute remarque concernant ce site : webmaster (at) animath.fr
Dernière modification : 10 juillet 2004.
Page maintenue par Yann Ollivier.

Copyright
Tous les textes et le matériel figurant sur ces pages sont la propriété de leurs auteurs.
Toute utilisation non commerciale est autorisée, avec mention de la source.
Toute utilisation commerciale est interdite.