Exercice 1
Trouver tous les entiers strictement positifs a, b tels que
soit divisible par
.
Exercice 2
Trouver tous les triplets
d'entiers strictement positifs solutions de
.
Exercice 3
Dans une ville, il y a 2003 clubs. Chaque club possède 40 membres, et deux clubs distincts ont exactement un membre commun. Prouver qu'une personne est membre de tous les clubs.
Exercice 4
Soit ABC un triangle, et P, Q, et R trois points des segments
,
et
respectivement. On note
,
et
les centres des trois cercles circonscrits aux triangles AQR, BPR et CPQ respectivement. Montrer que le triangle
est semblable à ABC.
Exercice 5
On note
l'ensemble des nombres réels. Trouver toutes les fonctions
satisfaisant
pour tout
, ou démontrer qu'il n'en existe pas.
Exercice 6
Soit
. Déterminer le plus petit entier
qui satisfait la propriété suivante : pour toute partition de
en deux sous-ensembles, au moins l'un de ces deux sous-ensembles contient trois nombres (pas forcément distincts) a, b et c tels que
.
