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Olympiade française de mathématiques
2002-2003, dossier 3

Exercice 1

Dans le triangle ABC, l'angle en A vaut deux fois l'angle en B et l'angle en C est obtus. De plus, les longueurs a, b, c des côtés sont des entiers. Déterminer le périmètre minimal de ABC.

Exercice 2

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que les diagonales AC et BD s'intersectent à angle droit, en E. Montrer que les symétriques F, G,$ H$, I de E par rapport à AB, BC, CD, DA respectivement, sont cocycliques.

Exercice 3

On définit la suite $a_n$ par : $a_1= 2$, $a_{i+1} = 2^{a_i}$. Soit $n \geq 1$ un entier. Montrer que la suite des restes de $a_i$ dans la division par n est constante à partir d'un certain rang.

Exercice 4

Soit ABC un triangle, et D un point du segment $[AB]$. On note E le point d'intersection* du segment $[CD]$ avec une tangente externe commune aux cercle inscrits des triangles ACD et BCD (l'autre tangente externe commune est la droite $(AB)$). Montrer que lorsque D parcourt le segment $[AB]$, E décrit un arc de cercle.

Exercice 5

Existe-t-il un ensemble X qui possède la propriété suivante : pour tout entier n (positif ou négatif), il existe exactement une solution de l'équation $a+2b=n$, avec $a,b \in X$ ? (Justifier la réponse!)

Exercice 6

Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs vérifiant : $\sum_{j=1}^n a_j \geq \sqrt n$ pour tout $n \geq 1$. Montrer que pour tout $n \geq 1$ :

\[ \sum_{j=1}^n a_j^2 > \frac 1 4 \left( 1 + \frac 1 2 + \cdots + \frac 1 n \right). \]

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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