Exercice 1
Soit k un nombre réel. Déterminer les fonctions f de
dans
telles que, pour tous réels x et y,
Exercice 2
On se donne un polygone régulier à n côtés de longueur égale à a. On prend un point M intérieur au polygone et on désigne par
les distances de M aux n droites portant les n côtés du polygone. Montrer :
Exercice 3
On considère un triangle ABC tel que
. La bissectrice intérieure de l'angle
rencontre BC en D. Le point E est un point de AB tel que l'angle
soit droit ; le point F appartient à AC et vérifie
.
Montrer
.
Exercice 4
On place, dans un ordre quelconques, N poids de masses
sur un cercle. Pour chaque paire de poids voisins, on calcule la valeur absolue de la différence de ces poids et on note V la somme des N nombres ainsi obtenus.
Déterminer la plus petite et la plus grande valeur possible de V.
Exercice 5
Déterminer les couples
d'entiers naturels non nuls tels que
soit un entier naturel.
Exercice 6
Dans un triangle équilatéral T d'aire égale à 1, on considère cinq points. Montrer qu'il existe trois triangles équilatéraux dont les côtés sont parallèles aux côtés de T tels que :
- chacun des cinq points appartient à la réunion de ces trois triangles ;
- la somme des aires des trois triangles est au plus
.
Étudier si le nombre
peut être remplacé par une valeur plus petite ; déterminer la plus petite valeur possible.
![\[
f(x)+f(y)^2=kf(x+y^2)
\]](dossier_0102comp003.gif)
![\[
\frac1{h_1}+\frac1{h_2}+\cdots+\frac1{h_n}>\frac{2\pi}{a}
\]](dossier_0102comp005.gif)
![\[
\frac{x^3+y^3-x^2y^2}{(x+y)^2}
\]](dossier_0102comp013.gif)
