Exercice 1
Soit ABC un triangle,
des points sur les côtés BC, AC, AB respectivement, et
les milieux des segments
respectivement.
Montrer que
Exercice 2
Soit n un entier strictement positif et soient
des entiers strictement positifs tous distincts. Montrer que
Exercice 3
22 arbres sont mis en rond ; sur chaque arbre se pose un corbeau. Toutes les minutes, deux corbeaux se déplacent chacun sur un arbre voisin du leur. Est-il possible pour les corbeaux, après un certain nombre de minutes, de se rassembler tous sur le même arbre ?
Exercice 4
Trouver tous les entiers positifs x et y tels que
Exercice 5
Soit n une puissance de
.
On considère les parties A de l'ensemble
possédant la propriété suivante : si x appartient à A, alors
n'appartient pas à A.
Déterminer le nombre maximal d'éléments d'une telle partie A.
Exercice 6
Le cercle inscrit dans le triangle ABC touche les côtés AB et AC aux points P et Q respectivement. R et S sont les milieux respectifs des côtés AC et BC. T est le point d'intersection des droites PQ et RS. Montrer que T se trouve sur la bissectrice de l'angle B du triangle.
![\[
\text{aire}(UVW)+\text{aire}(XYZ)-\frac12\text{aire}(DEF)=\frac34\text{aire}(ABC)
\]](dossier_01025004.gif)
![\[
\frac{a_1}{1^2}+\frac{a_2}{2^2}+\cdots+\frac{a_n}{n^2}\geq
\frac11+\frac12+\cdots+\frac1n
\]](dossier_01025006.gif)
![\[7^x-3\cdot 2^y=1
\]](dossier_01025007.gif)
