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Club France
2001-2002, dossier 4

Exercice 1

Soit $(a_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une suite d'entiers positifs telle que $a_1$ ne soit pas divisible par $5$ et :

\[ a_{n+1} = a_n +b_n \]

où $b_n$ est le dernier chiffre de $a_n$. Montrer que cette suite comprend une infinité de puissances entières de $2$.

Exercice 2

Soit ABC un triangle tel que $BC \ge AB$. On choisit D et E sur $[AC]$ et $[BC]$ respectivement de sorte que $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$ et $BE=AB$. Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC. Montrer que $(DE)$ et $(BO)$ sont perpendiculaires.

Exercice 3

Existe-t-il une fonction $ f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ vérifiant les deux conditions suivantes :
  • $ \forall a \in \mathbb{Q}, \quad f(a)<a$
  • $ \forall a \in \mathbb{Q}, \quad \{ \, b \in \mathbb{Q} \, \vert \, f(b) <a<b \} $ est fini ?

Exercice 4

Montrer que pour tout $n \ge 2$ entier, $\frac{3^n - 2^n} n $ n'est pas entier.

Exercice 5

Soient $a_0,a_1,\ldots,a_n$ des réels de l'intervalle $[0,\pi/2]$ vérifiant

$$ \tan\left(a_0-\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(a_1-\frac{\pi}{4}\right) + \cdots + \tan\left(a_n-\frac{\pi}{4}\right) \geq n-1.$$

Montrer que

$$\tan a_0\,\tan a_1\,\cdots\,\tan a_n \geq n^{n+1}.$$

Exercice 6

Soit H l'orthocentre du triangle ABC, supposé non isocèle en C. Soit D le point d'intersection de la droite des milieux de $[AB]$ et $[HC]$ avec la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{ACB}$. On suppose que O, centre du cercle circonscrit à ABC, est sur HD. Calculer la valeur de l'angle $\widehat{ACB}$.

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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