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Le vingtième Tournoi des Villes

Épreuve de printemps, 3èmes -- 2des, version principale.

(Le total des points est calculé à partir des trois problèmes pour lesquels vous en avez obtenu le plus. Les points sont indiqués entre crochets.)

• Il y a 500 F sur un compte en banque. La banque autorise deux opérations : prendre 300 F du compte ou y mettre 198 F. Ces opérations peuvent être effectuées autant de fois qu'on veut, mais on ne possède pas d'autre argent que celui qu'il y a initialement sur le compte. Quelle est la somme maximale qu'on peut extraire du compte et comment le faire ?

• O est le point d'intersection des diagonales du parallèlogramme ABCD. Montrer que si le cercle qui passe par A, B et O est tangent à la droite BC, alors le cercle qui passe par B, C et O est tangent à la droite CD.

• Voici un jeu pour 2 joueurs. Le premier joueur écrit en ligne de gauche à droite des 0 et des 1, jusqu'à ce qu'il y ait 1999 chiffres au total. Chaque fois que le premier écrit un chiffre, le deuxième permute deux chiffres parmi ceux qui sont déjà écrits (lorsqu'il n'y a qu'un seul chiffre d'écrit, le deuxième joueur ne fait rien). Est-ce que le deuxième joueur peut toujours faire en sorte qu'après son dernier coup la disposition des chiffres soit symétrique par rapport au chiffre du milieu ?

• Un disque est divisé par rayons en secteurs égaux. On colorie n secteurs en bleu et n en rouge dans un ordre quelconque. Dans les secteurs rouges on inscrit, en commençant par un certain secteur, les nombres de 1 à n dans le sens des aiguilles d'une montre. Dans les secteurs bleus on inscrit également, en commençant par un certain secteur, les nombres de 1 à n, mais dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Prouver qu'il existe un demi-disque dans lequel sont inscrits tous les nombres de 1 a n.

• Le cercle inscrit dans le triangle ABC touche les côtés AB et AC aux points P et Q respectivement. R et S sont les milieux respectifs des côtés AC et BC. T est le point d'intersection des droites PQ et RS. Montrer que T se trouve sur la bissectrice de l'angle B du triangle.

• Une tour, en avançant d'une case par coup (verticalement ou horizontalement), a parcouru en 64 coups les cases de l'échiquier et est revenue sur la case de départ. Montrer que le nombre de coups horizontaux est différent du nombre de coups verticaux.

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