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Le vingtième Tournoi des Villes

Épreuve d'automne, 3èmes -- 2des, version d'entrainement.

(Le total des points est calculé à partir des trois problèmes pour lesquels vous en avez obtenu le plus. Les points sont indiqués entre crochets.)

• Un cube est divisé en 8000 cubes unitaires. On écrit un nombre dans chaque cube unitaire. Dans chaque ligne et dans chaque colonne de 20 petits cubes, parallèle à une des arêtes du cube, la somme des nombres fait 1. Dans un des petits cubes, le nombre écrit est 10. Par ce petit cube passent trois couches parallèles aux faces du cube. Trouver la somme de tous les nombres en dehors de ces trois couches.

• Le carré d'un nombre entier est de la forme (se termine par les chiffres 0 et 9). Montrer que le troisième chiffre en partant de la droite est pair.

• Dans un triangle ABC, les points , et se trouvent sur les côtés BC, CA et AB respectivement. On sait que , et . Prouver que les points , et sont les milieux des côtés correspondants.

• 12 candidats au poste de maire participent à une discussion télévisée. Au bout d'un certain temps l'un d'eux a dit : ``Jusque là on a menti une seule fois.'' Un deuxième a dit : ``Maintenant, cela fait deux fois.'' ``Trois fois maintenant'', a dit le troisième, et ils ont continué comme cela jusqu'au douzième, qui a affirmé qu'avant lui on avait menti 12 fois. Le présentateur a alors arrêté la discussion. Sachant qu'au moins un des candidats a correctement annoncé combien de fois on avait menti avant lui, trouver combien de fois les candidats ont menti au total.

• Un -crocodile est une pièce d'échecs qui, en un coup, peut avancer de m cases dans une direction (verticale ou horizontale), puis de n cases dans la direction perpendiculaire. (Un -crocodile est un cavalier ordinaire.) Montrer que pour n'importe quels entiers m et n on peut colorier les cases d'un échiquier infini en noir et blanc de sorte que deux cases reliées par un coup de crocodile soient toujours de deux couleurs différentes.

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