[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]

Le vingt-et-unième Tournoi des Villes

Épreuve de printemps, troisièmes - secondes, version principale.

(Le total des points est calculé à partir des trois problèmes pour lesquels vous en avez obtenu le plus. Les points sont indiqués entre crochets.)

• Trouver toutes les solutions réelles de l'équation

  

• Soient un cercle et un point A à l'intérieur de ce cercle. Considérons tous les rectangles ABCD tels que B et D soient des points du cercle. Trouver l'ensemble des points C qu'on obtient ainsi.

• Deux brigands, Grosse-Main (GM) et Compas-dans-l'Oeil (CO), partagent un tas de 100 pièces. Grosse-Main prend un certain nombre de pièces dans la main et Compas-dans-l'Oeil décide auquel des deux elles reviendront. Ils continuent ainsi jusqu'à ce que l'un des deux ait obtenu 9 poignées de pièces, après quoi l'autre prend toutes les pièces restantes. (Le partage peut également finir par épuisement des 100 pièces, avant que quelqu'un ait obtenu 9 poignées.) Grosse-Main peut prendre dans la main n'importe quel nombre de pièces. Quel est le nombre maximal de pièces qu'il peut être sûr d'obtenir indépendamment de ce que fait Compas-dans-l'oeil ? (Donnez ce nombre maximal, expliquez comment Grosse-Main peut obtenir ce nombre-là de pièces et montrez qu'il ne peut pas être sûr d'en obtenir plus.)

• Quel est le plus grand nombre de cavaliers qu'on peut mettre sur un échiquier de telle sorte que chaque cavalier en ait exactement deux autres en prise ? (Dessinez la disposition des cavaliers et montrez qu'on ne peut pas en mettre plus.)

• Dans un tournoi d'échecs chaque joueur joue une et une seule partie contre chacun des autres joueurs. Une partie gagnée apporte un point, une partie nulle un demi-point, une partie perdue zéro point. Appelons une partie « incorrecte » si elle est gagnée par un joueur qui, à la fin, a obtenu moins de points que celui qu'il a battu. Montrez que la proportion des parties incorrectes dans le nombre total de parties est strictement inférieure à .

[ Page principale - Bibliographie - Annales - Liens ]
[ Olympiades : française - internationales - académiques ]
[ Clubs : Thèmes - Universités d'été - Coordonnées ]