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Le vingt-et-unième Tournoi des Villes

Épreuve de printemps, 1ères -- Terminales, version d'entraînement.

(Le total des points est calculé à partir des trois problèmes pour lesquels vous en avez obtenu le plus. Les points sont indiqués entre crochets.)

• Un quadrilatère convexe est divisé par ses diagonales en 4 triangles. Il se trouve que la somme des aires de deux triangles opposés est la même pour les deux couples de triangles opposés. Montrer que le point d'intersection des diagonales est le milieu d'au moins une d'elles.

• Sur un dé spécialement fabriqué, deux faces opposées sont marquées d'un point chacune, deux autres faces opposées sont marquées de deux points chacune, les deux dernières faces opposées de trois points chacune. En utilisant 8 dés comme cela, on construit un cube et on compte le nombre de points sur chaque face de ce cube. Peut-il arriver qu'on obtienne 6 nombres consécutifs ?

• Montrer l'inégalité

  

  pour deux entiers positifs n et k.

• Existe-t-il une suite infinie

  • de réels,

  • d'entiers,

  telle que la somme de 10 termes successifs soit toujours strictement positive, alors que la somme des premiers termes soit strictement négative pout tout n ?

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