Six problèmes répartis en deux séances de quatre heures
Problème 1
Soit ABCD un parallélogramme. Soit E un point du côté BC et F un point du côté CD tels que les triangles ABE et BCF ont la même aire. La diagonale BD intersecte AE en M et AF en N. Montrer que :
- Il existe un triangle dont les longueurs des côtés sont égales à BM, MN et ND.
- Si E et F varient de telle sorte que la longueur MN décroisse, alors le rayon du cercle circonscrit du triangle défini ci-dessus décroît aussi.
Problème 2
Soit l'équation
où N est un entier strictement positif donné.
- Montrer que pour une infinité de valeurs de N, cette équation a des solutions en nombres entiers strictement positifs (une telle solution se compose de quatre entiers strictement positifs x, y, z et t).
- Soit
où k et m sont des entiers positifs ou nuls. Motnrer que l'équation considérée n'a pas de solution en nombres entiers strictement positifs.
Problème 3
Soit P un polynôme donné de degré 4 ayant quatre racines réelles strictement positives.
Montrer que l'équation
a aussi quatre solutions réelles strictement positives.
Problème 4
Soit un triangle équilatéral ABC et un point M dans le plan contenant ABC. Soient
,
,
les images de A, B, C, respectivement, par la symétrie de centre M.
- Montrer qu'il existe un unique point P équidistant de A et
, de B et
, et de C et
.
- Soit D le milieu du segment AB. Montrer que quand M varie en restant distinct de D, le cercle circonscrit au triangle MNP passe toujours par un même point (N étant l'intersection des droites DM et AP).
Problème 5
Trouver toutes les fonctions
vérifiant pour tout x
Problème 6
Calculer
où la somme court sur l'ensemble des 1994-uplets de nombres entiers positifs ou nuls
satisfaisant
![\[x^2+y^2+z^2+t^2-Nxyzt-N=0\]](viet94001.gif)
![\[
\frac{1-4x}{x^2}\,P(x) + \left(1-\frac{1-4x}{x^2}\right)P'(x)-P''(x)=0
\]](viet94003.gif)
![\[
f\left(\sqrt{2}\,\, x\right) + f\left(\left(4+3\sqrt{2}\right)\,x\right)
= 2 f \left(\left(2+\sqrt{2}\right)\,x\right)
\]](viet94011.gif)
![\[
T=\sum\frac{1}{n_1!\,n_2!\ldots
n_{1994}!\,\left(n_2+2n_3+3n_4+\cdots+1993n_{1994}\right)!}
\]](viet94012.gif)
![\[
n_1+2n_2+3n_3+\cdots+1994n_{1994}=1994
\]](viet94014.gif)
