Durée : deux séances de 4h30. Les calculatrices ne sont pas autorisées.
Premier jour
Exercice 1
Si n est un entier naturel non nul, on considère l'ensemble
.
Peut-on trouver des valeurs de n pour lesquelles il existe un partage de A en deux ensembles disjoints B et C de telle sorte que le produit des éléments de B soit égal au produit des éléments de C?
Exercice 2
Dans un parallélogramme ABCD, on se donne M sur
et N sur
de sorte que les segments
et
aient des longueurs égales non nulles. Les droites AN et CM se coupent en Q.
Montrer que DQ est la bissectrice de
.
Exercice 3
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, tout point à coordonnées entières est le centre d'un disque de rayon
.
Montrer qu'il existe un triangle équilatéral dont les trois sommets sont dans des disques différents.
Montrer qu'un tel triangle a des côtés de longueur plus grande que 96.
Deuxième jour
Exercice 4
Soit n un entier naturel non nul.
On considère
réels strictement positifs
et
vérifiant
Trouver la plus petite valeur de
Exercice 5
Le cercle inscrit dans le triangle ABC est tangent aux côtés AB, BC, CA aux points P, Q, R.
Montrer
Exercice 6
On note
l'ensemble des nombres premiers.
On considère une partie M de
ayant au moins trois éléments. On suppose que, pour tout sous-ensemble fini (non vide) strict A de M (c'est-à-dire
), les facteurs premiers de l'entier
appartiennent à M.
Montrer
.
Remarque. On rappelle que
désigne le produit des éléments de A.
