(Rédigé par Yann Ollivier.)
Le principe des tiroirs a un énoncé simple : si on dispose plus de
objets parmi k tiroirs, alors un tiroir contient au moins deux objets. On peut en donner une version plus évoluée. On note
le résultat de la division de a par b arrondi à l'entier supérieur. Alors :
Principe des tiroirs - Si on dispose n objets parmi k tiroirs, alors un tiroir contient au moins
objets.
L'arrondi à l'entier supérieur fait bien sûr toute la force de la chose, surtout si
...
Exercice - Paris compte deux millions d'habitants. Un être humain a, au plus, 600 000 cheveux sur la tête. Au vu de ces données (et sachant cela seulement), combien de Parisiens peut-on trouver qui ont exactement le même nombre de cheveux sur la tête ?
Exercice - On a jeté de la peinture noire sur le sol blanc d'une pièce carrée de 2 mètres sur 2, n'importe comment. Montrer qu'il existe deux points de la même couleur dont la distance est exactement un mètre.
Exercice - Démontrez que, parmi les stagiaires d'un stage Animath, il en existe deux qui connaissent exactement le même nombre d'autres stagiaires (pas forcément les mêmes stagiaires, mais seulement le même nombre). [On suppose que la relation « se connaître » est réciproque : si a connaît b, alors b connaît a.]
Exercice - (Difficile.) Un maître d'échecs joue au moins une partie par jour, mais au plus dix parties par semaine. Montrer que, s'il joue assez longtemps, on peut trouver une série de jours consécutifs durant lesquels il a joué exactement 23 parties. (Indication : soit
le nombre total de parties jouées jusqu'au jour i, on cherche i et j tels que
.)
