(Rédigé par Yann Ollivier.)
Le principe d'inclusion-exclusion permet de compter le nombre d'objets qui vérifient la propriété A ou la propriété B, sachant que ces propriétés ne sont pas exclusives et peuvent être réalisées en même temps : il faut additionner le nombre d'objets ayant A et le nombre d'objets ayant B, puis retirer le nombre d'objets ayant à la fois A et B (ces objets ont été comptés deux fois).
On note
le nombre d'éléments d'un ensemble A. Si A et B sont des ensembles, on note
leur réunion (l'ensemble des objets appartenant à A ou à B --- ou aux deux), et
leur intersection (l'ensemble des objets appartenant à A et à B).
Principe d'inclusion-exclusion - On note
le nombre d'objets d'un ensemble A. Si
sont des ensembles, alors on a :
Exercice - Démontrez ces relations (faites un dessin !), puis généralisez à la réunion de n ensembles
.
Exercice - Combien y a-t-il de nombres à moins de quatre chiffres (de
à
) qui ne sont divisibles ni par
, ni par
, ni par
? (Réponse :
.)
Exercice - Un cube
est divisé en
cubes unités. On écrit un nombre dans chaque cube unité. Dans chaque ligne et dans chaque colonne de
petits cubes, parallèle à une des arêtes du cube, la somme des nombres fait
. Dans un des petits cubes, le nombre écrit est
. Par ce petit cube passent trois couches
parallèles aux faces du cube. Trouver la somme de tous les nombres en-dehors de ces trois couches.
