(Rédigé par Yann Ollivier.)
La descente infinie est le principe selon lequelle il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers positifs. Ce principe est redoutable pour prouver qu'il n'existe pas de solution à certains problèmes faisant intervenir des nombres entiers : si à partir d'une solution, on sait en fabriquer une autre strictement plus petite mais toujours en nombres entiers, et qu'on peut recommencer indéfiniment, alors le problème initial n'a pas de solution...
Exercice - Résoudre en nombres entiers l'équation
. (Indication : remarquer que x est pair.)
Autre formulation du même principe : toute partie non vide de
admet un plus petit élément. De manière générale, c'est toujours une bonne stratégie, face à un ensemble de possibilités, de commencer par examiner la plus petite : « soit x la plus petite solution », ou encore « soit p le plus petit facteur premier de n »... sont de bons départ dans des problèmes d'arithmétique.
