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La géométrie du triangle

Commençons par quelques rappels. On laissera la démonstration des premières formules ou de l'existence des points cités en exercice. On introduira et utilisera les notations usuelles.

Dans un triangle ABC, on note les longueurs des côtés opposés aux sommets homonymes et les valeurs des angles. On note G le centre de gravité, point de concours des médianes, le point G divise chaque médiane en deux segments dont le rapport des longueurs vaut . On note O le centre du cercle circonscrit, point de concours des médiatrices, H l'orthocentre, point de concours des hauteurs, et I le centre du cercle inscrit, point de concours des bissectrices intérieures. On note p le demi-périmètre, soit et S l'aire du triangle. On note R et r les rayons respectifs des cercles circonscrits et inscrits.

On a les relations suivantes:

Loi des sinus

Formule de Héron

Théorème d'Al Kashi

Formule d'Euler

Droite d'Euler

Un triangle ABC avec ses quatre points centraux principaux

Voyons maintenant quelques propriétés des points remarquables.

Théorème.

Soit D le pied de la bissectrice intérieure issue de A dans le triangle ABC (c'est-à-dire l'intersection de la bissectrice avec la droite ) et soit E le pied de la bissectrice extérieure issue de A, on a alors l'égalité suivante:

Démonstration. Exercice. CQFD.

Théorème.

Soit ABC un triangle inscrit dans le cercle  de centre O. Soit I le centre du cercle inscrit, la seconde intersection de la bissectrice intérieure issue de A avec . Alors 1. les droites  et sont perpendiculaires (donc M est le milieu de l'arc BC), 2. le cercle de centre  passant par B et C passe également par le point I.

Démonstration. Exercice CQFD.

Théorème (Triangle orthique).

Soit les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets d'un triangle acutangle (dont tous les angles sont aigus), soit H l'orthocentre de ce triangle, on a alors 1. les triangles , , sont directement semblables entre eux et indirectement semblables au triangle ABC, 2. les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices intérieures du triangle , appelé triangle orthique, 3. les symétriques de H par rapport aux trois côtés du triangle ABC appartiennent au cercle circonscrit à ABC.

Démonstration. Exercice CQFD.

Théorème (Cercle d'Euler).

Soit les milieux respectifs des côtés , les pieds des hauteurs issues de et les milieux respectifs de . Alors les neuf points appartiennent à un même cercle appelé cercle d'Euler, de centre  milieu du segment et de rayon .

Démonstration. Soit  le milieu de , le cercle de centre  et de rayon . Soit h l'homothétie de centre G et de rapport . Elle envoie O en , donc le cercle circonscrit à ABC sur . Elle envoie A en , B en , C en , donc appartiennent à . Soit  l'homothétie de centre H et de rapport , elle envoie O en , donc le cercle circonscrit à ABC sur . Elle envoie A en , B en , C en , donc appartiennent à . Soit  la droite parallèle à  passant par . Elle est perpendiculaire à , donc parallèle à . Comme  est le milieu de , la droite  est la médiatrice de , donc on a , donc appartient à . On montre de même que et appartiennent à . CQFD.

Les deux théorèmes suivants sont très utiles pour montrer que trois points sont alignés ou que trois droites sont concourantes ou parallèles.

Théorème (Ménélaüs).

Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . Alors les points sont alignés si et seulement si on a où les longueurs sont considérées algébriquement.

Démonstration. Soit S l'intersection des droites  et , T l'intersection de la parallèle à  passant par C et de . Par le théorème de Thalès, on a

d'où

Par conséquent les points  sont alignés si et seulement si on a , soit . CQFD.

Théorème (Ceva).

Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . Alors les droites , , sont concourantes si et seulement si on a : où les longueurs sont considérées algébriquement.

Démonstration. Soit T le point d'intersection des droites  et , soit S le point d'intersection des droites  et . Le rapport des longueurs  est égal par similitude de triangles au rapport des distances de B et C à la droite , lequel est alors égal au rapport des aires  (ces triangles ont pour base AT et pour hauteurs les distances de B et C à la droite ). En utilisant le même argument pour les autres rapport, on obtient

On applique alors le même argument que pour la démonstration du théorème de Menelaüs. Les trois droites  concourent si et seulement si on a , soit , donc si et seulement si on a

CQFD.

Il existe une variante trigonométrique du théorème de Ceva dont la démonstration est similaire.

Théorème (Ceva trigonométrique).

Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . Alors les droites , , sont concourantes si et seulement si on a

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Problèmes

Exercice. Démontrer les trois théorèmes non démontrés du cours.

Exercice. Soient  et deux cercles de rayons respectifs  et se coupant en A et B, une droite quelconque passant par A. Soient C et D les points d'intersection respectifs de  avec  et . Calculer le rapport en fonction uniquement de  et .

Exercice. Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . On suppose que les trois droites se coupent en T, montrer qu'on a alors

Exercice. (Cercle d'Apollonius) Soit A et B deux points et k un réel différent de . Montrer que l'ensemble des points M du plan tels que le rapport  soit égal à k est un cercle dont le centre appartient à la droite .

Exercice. (Points de Nagel et de Gergonne) Soit ABC un triangle, soient les points de contact du cercle inscrit avec les côtés , soit le point de contact du cercle exinscrit dans l'angle A au triangle avec le côté BC (le cercle exinscrit dans l'angle A est le cercle tangent aux trois côtés du triangle, mais se situant de l'autre côté de la droite par rapport au triangle). On définit de même les points et .

1) Montrer que les droites  sont concourantes (point de Gergonne).

2) Montrer que les droites  sont concourantes (point de Nagel, noté N).

3) Montrer que les points  sont alignés dans cet ordre et qu'on a .

4) Soient les milieux des côtés de ABC. Montrer que le centre du cercle inscrit dans  est le milieu du segment .

Exercice. Soit ABCD un parallélogramme tel que l'angle A est aigu. Le cercle de diamètre  rencontre les droites  et en E et F respectivement. La tangente au cercle en A coupe la droite  en P. Montrer que les points  sont alignés.

Exercice. Soit l une droite passant par l'orthocentre du triangle ABC. Montrer que les symétriques de l par rapport aux côtés du triangle passent par un même point, montrer que ce point appartient au cercle circonscrit à ABC.

Exercice. Soit ABC un triangle acutangle, soient L et N les intersections de la bissectrice interne de l'angle A avec  et avec le cercle ciconscrit à ABC. Soient K et M les projections de L sur les côtés  et . Montrer que l'aire du quadrilatère AKNM est égale à celle du triangle ABC.

Exercice. Montrer que les symétriques de chaque sommet d'un triangle par rapport au côté opposé sont alignés si et seulement si la distance de l'orthocentre au centre du cercle circonscrit est égale à son diamètre.

Exercice. Soit ABC un triangle, soit un triangle directement semblable à ABC de telle sorte que A appartienne au côté , B au côté et C au côté . Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC, H son orthocentre et celui de . Montrer qu'on a .

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