Exercice 1
Soient : v la vitesse de la colonie en cm/s, V la vitesse de la fourmi,
le temps aller de la fourmi et
le temps retour.
La distance aller est
.
La distance retour est
.
D'où
et
.
On obtient :
En posant
on a alors
d'où
.
En conclusion la distance parcourue est
cm.
Exercice 2
Cet exercice est choisi par chaque académie.
Exercice 3
1) Quelle que soit la répartition obtenue, la somme des gains est égale à
puisque chaque numéro de 1 à 10 est compté trois fois. La moyenne des dix gains est donc égale à 16,5.
2) Il en résulte qu'il y a au moins un gain supérieur ou égal à 17 ; en effet, si tous les gains étaient inférieurs ou égaux à 16, leur somme serait inférieure ou égale à
et ne pourrait valoir 165.
3) On peut construire une répartition pour laquelle tous les gains sont inférieure ou égaux à 18 : on met à part le 1 et on répartit les neuf autres jetons par groupes de 3 consécutifs ; chaque groupe de 3 doit avoir une somme exactement égale à 18 (puisque
).
On examine alors les partitions de 18 en trois entiers distincts inférieurs à 10 et différents de 1 : 10+6+2, 10+5+3, 9+7+2, 9+6+3, 9+5+4, 8+7+3, 8+6+4, 7+6+5.
À partir de ces triplets on peut fabriquer plusieurs solutions qui conviennent, par exemple 1 10 6 2 9 5 4 8 3 7 ou 1 10 5 3 8 4 6 2 9 7.
4) Supposons tous les gains inférieurs ou égaux à 17 et calculons la somme de tous les jetons (qui doit valoir 55) : en mettant le 1 à part et en regroupant les 9 autres jetons par 3 successifs, la somme des jetons est 1 plus les gains de trois des joueurs, ce qui est inférieur à
ce qui est impossible.
Donc au moins une des dix personnes a un gain supérieur ou égal à 18.
Remarques : Les exemples du 3) prouvent que, par contre, on ne peut pas remplacer 18 par 19. On peut généraliser le problème à
jetons : si G est le plus grand gain, on a
d'où
. On peut réaliser une telle répartition, par exemple : 1 ;
,
, 2 ;
,
, 4 ;
;
,
,
; puis
,
,
;
,
,
;
; 3,
,
. On peut aussi montrer que le plus grand gain G vérifie
si
;
si
;
si
;
si
et
si
.
Exercice 4
1) La forme proposée tient dans un damier
. Il suffit de découper le damier
en quatre carrés et de mettre un exemplaire dans chaque.
2) et 3) La clé de l'exercice consiste à remarquer que toute forme composée de neuf petits carrés tient dans un rectangle
ou
ou
ou
ou
, c'est-à-dire dans un rectangle
avec
.
On démontre ceci en raisonnant de proche en proche sur le nombre de petits carrés de la figure : une figure composée de deux petits carrés tient dans un rectangle
. Si on sait que toute figure à k carrés tient dans un certain rectangle
, alors, une figure à
carrés est obtenue en ajoutant un carré à une figure à k carrés, et selon l'endroit où le carré est ajouté, la figure tient dans un rectangle
ou dans un rectangle
.
La taille
du rectangle nécessaire augmente donc au plus de 1 pour chaque carré ajouté. Toute pièce à neuf carrés tient donc dans un rectangle de taille
pour
.
Pour résoudre la question 2, il suffit alors de constater que ces rectangles
,...
tiennent tous dans un rectangle
. Si l'on divise le damier initial
en deux damiers
, on pourra donc toujours placer une pièce dans chaque.
On peut même toujours placer quatre exemplaires de la même pièce. En effet, cette pièce tient dans un rectangle
, et on peut disposer quatre de ces rectangles comme sur la figure ci-dessous.
Montrons, pour terminer, qu'il y a des pièces qu'on ne peut pas mettre en cinq exemplaires. Considérons la croix ci-dessous :
Imaginons qu'on en ait posé cinq sur le damier. Comme les branches de la croix sont de taille 2, le centre d'une croix ne peut pas être à distance moins de 2 du bord. Il est donc forcément dans le damier central
.
Divisons ce carré central en 4 carrés
. Comme il y a 5 croix, l'un de ces carrés
contient deux centres de croix. Mais on vérifie, en regardant toutes les configurations possibles de deux centres de croix dans un carré
, que cela est impossible sans recouvrement.
Remarque : on peut montrer qu'il existe 1285 pièces différentes à neuf carrés (si l'on choisit de considérer comme égales deux pièces qui peuvent être tournées ou retournées l'une en l'autre), 2500 sortes de pièces si l'on considère comme égales deux pièces en s'autorisant à tourner mais pas à retourner, et 9910 différentes si l'on s'interdit de tourner et retourner.
