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Solutions des Olympiades académiques de première 2001

Exercice 1

Notons $n=2q+1$ le nombre d'étapes.

  • La somme minimale est obtenue pour $s=1+2+1+2+\cdots+1+2$ ce qui donne $s=(1+2)(q+1)=\frac{3n+3}{2}$.

    Pour $n=2001$, on trouve $s=3003$.

    La somme maximale est obtenue pour $s=1+4+3+4+3+\cdots+3+4$ ce qui donne $s=-2+(3+4)(q+1)=\frac{7n+3}{2}$.

    Pour $n=2001$ on trouve $s=7005$.

  • Toutes les valeurs intermédiaires sont obtenues, de la manière suivante :

    $1+2+1+2+1+2+\cdots+1+2$ puis

    $1+3+1+2+1+2+\cdots+1+2$ puis

    $1+3+1+3+1+2+\cdots+1+2$ etc. jusqu'à obtenir

    $1+3+1+3+1+3+\cdots+1+3$.

    Ensuite on recommence en transformant progressivement les 3 en 4 ; ceci fait, on change progressivement les 1 en 2, et enfin on change progressivement les 2 en 3.

Exercice 2

Si M n'est pas sur la droite $(AB)$ alors, $(MB)$ étant bissectrice de $\widehat{AMC}$, on a $\frac{MA}{MC}=\frac{BA}{BC}$ (1).

M appartient donc au cercle de diamètre $[BB']$ tel que $(A,C;B,B')=-1$, c'est-à-dire tel que $B'$ soit le symétrique de C par rapport à A.

De même $(MC)$ étant bissectrice de $\widehat{BMD}$ on a $\frac{MB}{MD}=\frac{CB}{CD}$ (2). M appartient au cercle de diamètre $[CC']$ tel que $(B,D;C,C')=-1$.

M est à l'intersection de deux cercles. Le cas limite est $d=6$. Si $d<6$ l'intersection est vide. Si $d=6$ les deux cercles sont tangents en $B'$. Si $d>6$ il y a deux points symétriques par rapport à la droite $(AB)$. On peut n'en retenir qu'un si on considère que le terrain de jeu est un demi-plan limité par la droite $(AB)$.

Remarque : on peut aussi considérer que l'ensemble cherché contient aussi tous les points de la droite $(AD)$ privée du segment $[AD]$ (angles nuls).

La seule ressource offerte par les actuels programmes est de choisir un repère puis soit à partir des égalités (1) et (2), si l'élève connaît ces relations, soit en écrivant l'égalité de lignes trigonométriques des angles, d'obtenir les équations des deux cercles et d'étudier leur intersection en résolvant le système obtenu.

Remarque : si d varie de 6 à l'infini les points M parcourent chacun un demi-cercle de diamètre $BB'$ (arc limité par $B'$ et K tel que KA est perpendiculaire à KB). Ils sont le plus éloignés de la droite AB lorsque $d=10$.

Exercice 4

Appelons les 6 sommets du cube C autres que A et B par les numéros 1,2,3,4,5,6.

De même notons les 6 sommets du cube $C'$ (qui est égal en dimensions au cube C) autres que A et B par 1',2',3',4',5',6'.

Les points 1,3,5,1',3',5' appartiennent à un même cercle d'axe $(AB)$. Les points 2,4,6,2',4',6' appartiennent à un cercle égal au précédent et aussi d'axe $(AB)$.

Lorsqu'on projette la figure formée par C et $C'$ sur un plan P perpendiculaire à $(AB)$ on obtient deux hexagones réguliers de même centre O.

Les segments $[1 1']$ et $[2 6']$ sont dans des plans parallèles au plan P et ont des projections qui sont des segments parallèles, donc ces deux segments sont parallèles.

Donc $(12)$ et $(1'6')$ sont deux droites coplanaires, elles se coupent en un point a.

De même on obtient b, c, d, e, f.

Les points a, b, c, d, e, f partagent les arêtes du cube C auquel ils appartiennent dans le même rapport, car il en est de même pour les projections sur P et que ces arêtes de C font toutes le même angle avec P.

(Remarque : ces raisonnements pourraient être simplifiés si l'on pouvait utiliser les isométries de l'espace : réflexion par rapport au plan médiateur de $[11']$, rotation d'axe $(AB)$ d'angle 2pi/3.)

Soit l la longueur de l'arête de C. Posons x = longueur $a1$. On a $x=a1=b2=c3=d4=e5=f6$ et $l-x=a2=b3=c4=d5=e6=f1$.

Ayant les points a, b, c, d, e, f communs entre les arêtes de C et de $C'$, les segments $[ab]$, $[bc]$, $[cd]$, $[de]$, $[ef]$, $[fa]$ qui les joignent sont communs à des faces de C et $C'$, ainsi que les segments $[Aa]$, $[Ab]$, $[Ac]$, $[Ad]$, $[Ae]$, $[Af]$, $[Ba]$, $[Bb]$, $[Bc]$, $[Bd]$, $[Be]$, $[Bf]$. La portion d'espace commune à C et $C'$ a des faces triangulaires (il y en a 12). Les côtés de chacun de ces triangles sont 3 des 18 arêtes qui viennent d'être obtenues. Par suite pour obtenir le volume de $C \bigcap C'$ il faut retirer à C six tétraèdres isométriques : $(Aaf)$, $(Abc)$, $(Ade)$, $(Bab)$, $(Bcd)$, $(Bef)$. $V=l^3$ et le volume de $C \bigcap C'$ est $l^3-l^3-6\times \frac{1}{3}l \times \frac{1}{2}x(l-x) = l(l^2-xl+x^2) = l\left(\left(x-\frac{l}{2}\right)^2+\frac{3l^2}{4}\right)$ qui est plus grand que $3l^3/4=3V/4$.

Le minimum cherché est $3V/4$, il est obtenu pour $x=l/2$ (cas où a, b, c, d, e, f sont coplanaires).

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Dernière modification : 10 juillet 2004.
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