Durée : 4 heures. Les quatre exercices sont indépendants. les calculatrices sont autorisées.
Exercice 1
Les faces d'un dé en forme de tétraèdre régulier sont numérotées de 1 à 4.
Le dé est posé sur une table, face « 1 » contre cette table.
Une étape consiste à faire basculer le dé autour de l'une quelconque des arêtes de sa base.
À l'issue de chaque étape, on note le numéro de la face contre la table. On fait la somme s de tous ces nombres après 2001 étapes, en comptant aussi le « 1 » initial.
- Donner la valeur maximale et la valeur minimale que l'on peut ainsi obtenir pour s.
- La somme s peut-elle prendre toutes les valeurs entières entre ces deux valeurs ?
Exercice 2
Sur un terrain de jeu sont alignés quatre poteaux, plantés en A, B, C et D dans cet ordre.
Ces poteaux délimitent trois buts de largeurs
,
,
où d est une longueur donnée.
Déterminer l'ensemble des points M du terrain d'où l'on voit les trois buts sous des angles
,
et
égaux.
Exercice 3
Cet exercice est choisi par chaque académie.
Exercice 4
Dessinez un cube C (un dessin même approximatif en perspective suffira).
Soient A un de ses sommets et B le sommet opposé, c'est-à-dire tel que le milieu du segment
soit le centre du cube.
Considérons un autre cube
admettant aussi
comme couple de sommets opposés.
Certaines arêtes de C rencontrent des arêtes de
. Justifiez le fait que, en dehors de A et B, on obtient ainsi six points d'intersection entre une arête de C et une arête de
.
Placez l'un d'eux sur le dessin et expliquez comment placer alors les cinq autres.
V étant le volume de C, quelle est la valeur minimale du volume de la portion d'espace commune aux cubes C et
?
