M. Pick a un verger planté de pommiers suivant un quadrillage parfaitement régulier à mailles carrées. Il a l'habitude d'y faire paître ses moutons en tendant une clôture fermée d'un arbre à l'autre.
Un mouton ayant besoin d'un carré unitaire d'herbe, son problème consiste à connaître le nombre de moutons qu'il pourra placer dans son polygone clôt, connaissant :
- le nombre d'arbres sur la clôture (que nous noterons C),
- le nombre d'arbres intérieurs à la clôture (que nous noterons I).
Nous noterons A l'aire délimitée par la clôture.
Premier exemple
Combien de moutons pourra-t-il placer dans le polygone dessiné ci-contre ?
Fabriquer un exemple analogue de votre cru.
Cas des rectangles de largeur 1
Réaliser un tableau où figurent les valeurs de A et C pour quelques rectangles de largeur 1 comme celui qui est dessiné ci-contre. En déduire une formule plausible (pour ces rectangles) qui permette d'écrire A en fonction de C.
Cas des rectangles de largeur 2
Réaliser un tableau où figurent les valeurs de A, de C, et de la formule trouvé au B pour quelques rectangles de largeur 2 comme celui qui est dessiné ci-contre. Modifier un peu la formule du B pour trouver une formule plausible (pour ces rectangles) qui permette d'écrire A en fonction de C et I.
Polygones quelconques
Tester sur quelques exemples le fait que la formule trouvée fonctionne sur la plupart des polygones. Y a-t-il des exceptions ?
Essayer d'adapter la formule trouvée pour la rendre utilisable dans les cas où le polygone a un ou des "trous".
Guide pour des preuves
(pour des polygones non troués)
1) Prouver que la formule fonctionne pour des rectangles.
2) Prouver alors que la formule fonctionne pour des triangles rectangles (en s'aidant du fait qu'un triangle rectangle est un demi-rectangle).
3) Montrer que si la formule fonctionne pour deux polygones ayant une clôture commune, elle fonctionne aussi pour le polygone obtenu en éliminant entre eux cette frontière commune.
4) Conclure pour les polygones qui peuvent être "découpés" en triangles rectangles.
