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Perfection

(Proposé par Didier Missenard)

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Primalité

Un naturel, différent de 1, est dit premier s'il n'a pas de diviseurs naturels hormis 1 et lui-même.

Donnez la liste des 10 plus petits naturels premiers.

En expliquant, fabriquez un naturel premier supérieur à 100, puis un naturel non premier supérieur à 100.

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Décomposition

"Décomposer un naturel en produit de facteurs premiers", c'est l'écrire comme un produit de naturels qui soient tous premiers: admettons qu'il n'y a qu'une manière d'effectuer cela, à l'ordre près des facteurs.

Par exemple, 1500 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5³.

Organisez-vous, en expliquant bien votre technique, pour décomposer un grand naturel en produit de facteurs premiers.

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Ensembles de diviseurs

Pour trouver l'ensemble de tous les diviseurs d'un naturel, il suffit de multiplier de toutes les manières possibles ses diviseurs premiers (et de ne pas omettre le nombre 1).

Par exemple, 20 = 2² x 5 = 2 x 2 x 5 a pour diviseurs: 2, 5, 2 x 2, 2 x 5, 2 x 2 x 5, ... et 1.

L'ensemble de ses diviseurs est donc {1, 2, 4, 5, 10, 20}.

Organisez-vous, en expliquant bien votre technique, pour "calculer" l'ensemble des diviseurs d'un grand nombre.

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Perfection

• Un naturel plus que parfait est un naturel égal à la somme de tous ses diviseurs. En justifiant votre réponse, pouvez-vous dire quels sont les naturels plus que parfaits.

• Un naturel imparfait est un naturel égal au produit de ses diviseurs, lui-même exclu. En justifiant votre réponse, pouvez-vous dire quels sont les naturels imparfaits.

• Un naturel surfait est un naturel égal au produit de tous ses diviseurs. En justifiant votre réponse, pouvez-vous dire quels sont les naturels surfaits.

• Un naturel déficient est un naturel strictement supérieur à la somme de ses diviseurs, lui-même exclu. Donnez quelques exemples de naturels déficients.

• Un naturel abondant est un naturel strictement inférieur à la somme de ses diviseurs, lui-même exclu. Donnez quelques exemples de naturels abondants.

• Un naturel parfait est un naturel égal à la somme de ses diviseurs, lui-même exclu. Prouvez qu'il y a deux naturels parfaits inférieurs à 30, et que 496 est aussi parfait.

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