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Deux problèmes ouverts

(Proposé par Didier Missenard)

(Du moins, encore ouverts en 2000)

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Le problème de Syracuse

Dans les années 50, à l'Université de Syracuse (aux États-Unis), le mathématicien Helmut Hasse popularisa un problème qui avait été initié par son ami Lothar Collatz vingt ans auparavant. Ce problème est, depuis, connu sous le nom de "Problème de Syracuse" ou "Problème 3n + 1".

Il s'agit de l'étude de ce que l'on appelle un "algorithme".

Pour l'étudier à votre tour :

prenez un entier n.

Si c'est 1, arrêtez vous.

Sinon, s'il est pair remplacez-le par n/2, et s'il est impair remplacez-le par 3n + 1.

Puis recommencez avec l'entier trouvé.

Faites des essais pour pouvoir énoncer votre "conjecture de Syracuse".

N'essayez pas trop de la démontrer (il s'agit encore d'un problème "ouvert").

Par contre, vous pouvez faire des statistiques, surtout si vous vous aidez d'un peu de programmation.

Intrigués par ce problème résistant, on a aussi étudié d'autres algorithmes qui ressemble au précédent.

Par exemple, que pensez-vous du comportement de celui où, au lieu de 3n + 1, on calcule dans les mêmes circonstances 3n - 1 ?

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Le Problème de Richard K. Guy

Si l'on considère un graphe à n sommets où chaque sommet est relié à chaque autre, ce graphe n'est pas nécessairement "planaire", c'est à dire que certaines de ses arêtes doivent se couper.

Quel est, en fonction de n, le nombre minimal d'intersections entre arêtes dans un tel graphe à n sommets ?

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