Voici quatre sortes de moyennes : si a et b sont deux nombres positifs.
- Le nombre m tel que
est appelé la moyenne arithmétique de a et b.
- Le nombre g tel que
est appelé la moyenne géométrique de a et b.
- Le nombre q tel que
est appelé la moyenne quadratique de a et b.
- Le nombre h tel que
est appelé la moyenne harmonique de a et b.
Conjectures
Faites quelques essais, formulez des conjectures...
Quelques pistes:
- ces moyennes existent-elles pour tous les nombres a et b?
- pouvez-vous trouver une écriture de h fonction de a et b?
- ces moyennes sont-elles toujours comprises entre a et b (preuve?).
- ces moyennes sont-elles toujours dans le même ordre?
- g n'est-il pas la moyenne géométrique de deux autres moyennes (preuve?).
Interprétation géométrique
Placez trois points O, A, B alignés distincts. On nomme M le milieu de [AB].
Tracez le cercle C de centre M, de rayon MA.
Placez un point G du cercle C tel que (OG) soit tangente à C.
Placez un point Q du cercle C tel que (QM) soit perpendiculaire à (AB).
Placez H, le projeté orthogonal de G sur (AB).
1) Mesurez les distances AO et BO, qu'on notera a et b.
2) Mesurez les distances OM, OG, OQ, OH.
3) Calculez les moyennes m, g, q, h, des nombres a et b.
4) Démontrez les conjectures que doivent vous inspirer la comparaison de 2) et 3).
5) Un raisonnement géométrique permet de prouver que l'ordre des quatre moyennes n'est pas le fait du hasard. Pouvez-vous le retrouver ?
Exemples
Cherchez des exemples où peuvent s'utiliser ces diverses moyennes.
